Composición De Funciones

Composición de funciones

La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g.

Artículo principal: Composición de funciones.

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva función.

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga:

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos

• La imagen de la función «inverso» g es R \ {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)³ = 1/x³.
• Dadas las funciones reales h₁: R → R y h₂: R → R dadas por h₁(x) = x² y h₂(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h₁ ∘ h₂ y h₂ ∘ h₁. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:

(h₁ ∘ h₂)(x) = h₁(h₂(x)) = h₁(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1, y

(h₂ ∘ h₁)(x) = h₂(h₁(x)) = h₂(x²) = x² + 1

• La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden:

(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

Funciones Inversas

Función inversa

Artículo principal: Función inversa.

Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.

Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple: La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se dicen invertibles.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

Toda función biyectiva f es invertible, y su inversa f⁻¹ es biyectiva a su vez. Recíprocamente, toda función invertible f es biyectiva.